材料磁性的起源在于其微观组成部分（如电子和原子核）的角动量所产生的磁矩。对于某些物质，这些微小的磁矩会沿特定方向排列，从而产生一个净磁场。换句话说，该材料具有非零磁化强度。 对于不同类型的材料，这些微小的磁矩原本是随机分布的，但当材料置于外部磁场中时，这些微小的磁矩会围绕外部磁场方向旋转，从而使材料平均产生一个不为零的磁化强度。 如果我们关闭外加磁场，材料的磁化强度可能会逐渐减小，直至恢复到其原始值。这是由于磁矩之间的相互作用，或是它们与其他微观自由度（如晶格振动）的相互作用所致。这一过程称为弛豫，下文将使用经典力学模型对此进行探讨。

A部分. 受迫谐振子

我们研究由其他物理自由度（如晶格振动或电子的磁偶极矩）的随机起伏引起的核自旋弛豫问题。为了方便使用经典力学系统中解所包含的随机性，我们先从一个质量为 $m$ 、角频率为 $\omega_0$ 的受迫谐振子开始。由于因随时间变化的外力作用，谐振子的能量也会发生变化。

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

其中外力由以下分段常数函数给出：

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

其中 $\omega_0 = 2\pi/T_0$ 是振子 $q(t)$ 的角频率。假设初始条件为 $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$ 。

在施加外力之前，能量守恒，其值为 $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$。为保持一般性，我们假设 $-\pi\le\delta < \pi$。

A1  ^1.20 求当 $t=T_0$ 时的位置 $q$ 和速度 $\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ ，用 $A,\delta, f_0, \omega_0$表示它们。

A2  ^1.20 考虑总机械能 $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$。计算由于外力 $F(t)$ 作用下，$t=T_0$ 与 $t=0$ 之间的 $E(t)$ 差值。换言之，计算 $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$，并用 $A,\delta, f_0, \omega_0$ 表示。

A3  ^1.20 假设 $\delta$ 是一个随机变量， 在 $-\pi\le\delta < \pi$ 范围内均匀分布。换句话说，有一大群相同的受迫谐振子，它们都遵循相同的方程 (1)。给定其初始条件，使得 $A$ 相同，但 $\delta$ 是从 $-\pi \le \delta < \pi$ 中随机选取的。计算吸收能$\langle \Delta E \rangle$ 的统计平均值，以及其二阶矩 $\langle (\Delta E)^2 \rangle$。

B 部分：磁偶极矩的进动与旋转坐标系变量的应用

磁场 $\vec B$ 中磁偶极矩的能量表示为

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

当考虑角动量 $\vec S $ 的无穷小旋转 ，并将能量的变化与扭矩 ($\vec\tau$)和角位移的乘积相等时，便得到 $\vec S.$

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

根据该方程，当$\vec B$ 为常数时，角动量$\vec S$ 会绕磁场方向 $\vec B$ 进行进动。这一现象被称为拉莫尔进动，其进动频率为 $\gamma |\vec B|$ ，且特别地，该频率与 $\vec S$ 和 $\vec B$ 之间的夹角无关。

圆偏振光的照射

现在，我们考虑在xy平面上施加一个振荡磁场，此外沿 z 方向分量的磁场恒定。此时，磁能为

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

其中 $\omega_0,\omega_1$ 由磁场的相应分量和 $\gamma$ 定出，而 $\omega_2$ 是振荡磁场的频率。我们假设$\omega_0,\omega_1,\omega_2$ 均为正值。 $\vec S$的方程为

$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$

这些方程可以更方便用 $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$ 表示为

$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$

接下来，让我们利用 $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$ 导入旋转系 中的自旋。这样， $\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ 和 $\Sigma_z$ 的方程可以写成

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

其中 $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ 及 $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$ 。

B1  ^1.50 用 $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ 表示 $M_x,M_y,M_z$ 的表达式。

如果考虑 xz 平面内的静态旋转，并按如下方式定义新变量 $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$，方程将可进一步得以简化，

$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$

B2  ^0.90 用 $M_x, M_y, M_z $和 $\Theta$ 来表示 $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$。

那么，在双旋转坐标系下，适当地选择 $\Omega$ 和 $\tan\Theta$ 下，这些方程可简化为：

$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$

B3  ^1.00 结合 B.1 和 B.2 的答案，用 $\omega_0,\omega_1, \omega_2$表示 $\Omega$ 和 $\tan\Theta$ 的表达式。

现在，我们考虑大量自旋，其初始配置服从某种统计分布：在 $t=0$ 处，平均值满足 $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ 和 $\langle S_z(0)\rangle>0$。所有自旋都满足由式(2)推导出的方程。

B4  ^1.50 $\langle S_z(t)\rangle$计算。

B5  ^1.50 如果在奇数倍的$T_1$处（即 $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$），$\langle S_z(t)\rangle =0$ 且在其他情况下，$\langle S_z(t)\rangle>0$ ，那么 $\omega_1T_1$ 的值是多少？