Материалын соронзон шинж чанарын үүсэл нь түүний микроскоп бүтэц болох электрон болон цөмийн өнцөг момент (импульсийн момент)-оос үүдэлтэй соронзон момент юм. Зарим материалын хувьд эдгээр бичил соронзон моментууд нь тодорхой чиглэлийн дагуу эгнэн жагссанаар (чиглэснээр) цэвэр соронзон орныг үүсгэдэг. Өөрөөр хэлбэл, тухайн материал нь тэгээс ялгаатай соронзонжилттой байдаг. Харин бусад төрлийн материалуудад бичил соронзон моментууд нь эмх замбараагүй чиглэсэн байх ба материалыг гадны соронзон оронд байрлуулахад эдгээр бичил соронзон моментууд нь гадны соронзон орны чиглэлийг тойрон эргэж, дунджаар тухайн материал нь тэгээс ялгаатай соронзонжилтыг үүсгэдэг. Хэрэв гадны соронзон орныг унтраавал материалын соронзонжилт анхны утгадаа эргэж орох хүртэл аажмаар буурч болно. Энэ нь соронзон моментууд хоорондын харилцан үйлчлэл, эсвэл тэдгээрийн кристал торны хэлбэлзэл зэрэг микроскоп чөлөөний зэргүүдтэй үүсгэх харилцан үйлчлэлээс шалтгаалдаг. Энэхүү процессыг унтрал гэх бөгөөд үүнийг дараах классик механик загваруудыг ашиглан судалж болно.

A хэсэг. Албадмал хэлбэлзэл

Бид кристал торны хэлбэлзэл эсвэл электроны соронзон моментын адил бусад физик чөлөөт параметрүүдийн санамсаргүй хэлбэлзлээс үүдэлтэй цөмийн спиний хэлбэлзлийн унтралын асуудлыг авч үзнэ. Классик механик систем дэх санамсаргүй нөлөөлөлтэй танилцахын тулд бид $m$ масстай, $\omega_0$ өнцөг давтамжтай албадмал гармоник осциллятороос эхэлье. Осцилляторын энерги нь хугацаанаас хамаарах гадны хүчний нөлөөгөөр өөрчлөгдөнө (доорх дүүжингийн зургийг үз.).

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

энд гадны хүчийг дараах шаталсан функцээр өгнө.

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

Энд $\omega_0 = 2\pi/T_0$ нь $q(t)$ осцилляторын өнцөг давтамж юм. Анхны нөхцөлийг $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$ гэж авъя.

Гадны хүчийг үйлчлэхээс өмнө энерги хадгалагддаг бөгөөд түүний утга нь $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$ байна. Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр бид $-\pi\le\delta < \pi$ гэж авч үзнэ.

A1  ^1.20 $t=T_0$ агшинд байрлал $q$ болон хурд $\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ -ийг ол. Тэдгээрийг $A,\delta, f_0, \omega_0$-ээр илэрхийл.

A2  ^1.20 Нийт механик энерги $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$-г авч үз. Гадны хүч $F(t)$-ийн нөлөөгөөр $t=0$ -ээс $t=T_0$-т шилжих үед үүсэх $E(t)$-ийн зөрүүг ол. Өөрөөр хэлбэл, $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$-ийн зөрүүг тооцож, үүнийг $A,\delta, f_0, \omega_0$-ээр илэрхийл.

A3  ^1.20 $\delta$ нь $-\pi\le\delta < \pi$ мужид жигд түгсэн санамсаргүй хувьсагч гэж авъя. Өөрөөр хэлбэл, бидэнд ижил хүчний нөлөөгөөр хөдөлдөг олон гармоник осциллятор байгаа бөгөөд бүгд (1) тэгшитгэлд захирагдана. Тэдгээрийн анхны нөхцөл нь $A$ бүгд ижил, харин $\delta$ нь $-\pi \le \delta < \pi$ мужид санамсаргүйгээр түгсэн гэж үзье. Шингээсэн энерги $\langle \Delta E \rangle$ -ийн статистикийн дундаж болон түүний квадртын дундаж $\langle (\Delta E)^2 \rangle$-ийг тооцоол.

B хэсэг: Соронзон моментын прецесс ба эргэлдэх системийн хувьсагчдын хэрэглээ

Соронзон орон $\vec B$ -д соронзон моментын энерги нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ:

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

$\vec S $ өнцөг моментын маш бага эргэлтийг авч үзэж, энергийн зөрүү нь хүчний момент ($\vec\tau$) ба эргэлтийн өнцөгийн скалер үржвэртэй тэнцүү байдгаас бид дараах $\vec S.$ тэгшитгэлийг олдог:

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

Энэхүү тэгшитгэлээс үзэхэд $\vec B$ тогтмол үед $\vec S$ өнцөг момент $\vec B$ соронзон орныг чиглэлийг тойрон прецесс хийнэ. Энэ үзэгдлийг Ларморын прецесс гэж нэрлэдэг бөгөөд прецессийн давтамж нь $\gamma |\vec B|$ -р илэрхийлэгддэг боловч ялангуяа $\vec B$ ба $\vec S$ хоорондох өнцгөөс хамаарахгүй.

Тойрог туйлшралттай гэрлээр шарах

Одоо бид z чиглэлд тогтмол байгуулагчтай, xy хавтгай дээр эргэлдэх соронзон орныг авч үзье. Соронзон энерги нь дараах хэлбэртэй өгөгдсөн:

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

энд $\omega_0,\omega_1$ нь соронзон орны харгалзах байгуулагчид болон $\gamma$-аар тодорхойлогдох бөгөөд $\omega_2$ нь эргэлдэж буй соронзон орны давтамж юм. Бид $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ бүгд эерэг гэж үзнэ. $\vec S$-ийн тэгшитгэлүүд нь

$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$

Эдгээр тэгшитгэлийг $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$-ийн хувьд бичвэл илүү тохиромжтой. Иймд

$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$

Дараагийн алхамд бид $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$-ийг эргэлдэх системд хэрхэн ашиглахыг танилцуулъя. $\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ ба $\Sigma_z$-ийн тэгшитгэлүүдийг дараах байдлаар бичиж болохыг харуулж болно:

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

энд $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$ ба $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ .

B1  ^1.50 $M_x,M_y,M_z$-үүдийг $\omega_0,\omega_1,\omega_2$-ээр илэрхийлнэ үү.

Хэрэв бид xz хавтгай дахь статик эргэлтийг авч үзэж, шинэ хувьсагчдыг $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ дараах байдлаар тодорхойлбол тэгшитгэлүүд илүү ч хялбар болно.

$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$

B2  ^0.90 $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$-ийн хөдөлгөөний тэгшитгэлүүдийг гарга, тэдгээрийг$M_x, M_y, M_z $ ба $\Theta$ ашиглан илэрхийлнэ үү.

Дараа нь давхар эргэлддэг систем дэх шинэ хувьсагчдын хувьд тэгшитгэлүүдийг дараах хэлбэрт хялбарчилж болно,

$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$

Хэрэв $\Omega$ ба $\tan\Theta$ параметруудыг зөв сонгосон бол дээрх хэлбэрт орно.

B3  ^1.00 B.1 болон B.2-ын хариултуудыг ашиглан, $\Omega$ ба $\tan\Theta$ параметруудыг $\omega_0,\omega_1, \omega_2$ -ээр илэрхийлнэ үү.

Одоо анхны төлөв байдлын статистик түгэлт бүхий маш олон тооны спинүүдийг авч үзье: $t=0$ байх үед дундаж утгууд нь $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ болон $\langle S_z(0)\rangle>0$ нөхцөлийг хангана. Бүх спинүүд нь (2)-р тэгшитгэлээс гаргаж авсан ижил тэгшитгэлийг хангана.

B4  ^1.50 $\langle S_z(t)\rangle$-г тооцоол.

B5  ^1.50 Хэрвээ $T_1$-ийн сондгой (өөрөөр хэлбэл $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$) утгууд дээр $\langle S_z(t)\rangle =0$ ба бусад үед $\langle S_z(t)\rangle>0$ бол $\omega_1T_1$-ийн утга юу вэ?